مححاضرات الاحصاء الرياضي 4

(‌أ)  خصائص التوزيع الهندسي

        

ملاحظة: التوزيع الهندسي ما هو إلا حالة خاصة من توزيع باسكال حيث r = 1 

2           التوزيع المتعدد Distribution multinomiale 

(‌أ)  استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي المتعدد

مثال. نرمي قطعة نرد 4 مرات. أوجد احتمال الحصول على مرتين الرقم 6 ومرتين الرقم 1.

التوزيع المتعدد هو تعميم للتوزيع الثنائي، فبينما الأول يستعمل في حالة تجربة تقبل نتيجتين فقط، يستعمل التوزيع المتعدد للحالة العامة حيث يكون للتجربة عدد k من النتائج الممكنة. مع استقلالية التجارب عن بعضها. نرمز لهذه النتائج ب  A₁, A₂, . . . A_k ولاحتمالاتها ب p₁, p₂, p₃, . . . p_k . بما إن الأحداث (النتائج)  Aiمتنافية فإن:

= 1  p₁+ p₂ + p₃ + . . . + p_k

إذا كررنا هذه التجربة متعددة النتائج عدد n من المرات فسيكون لدينا لكل حدث (نتيجة) متغيرة عشوائية تمثل عدد مرات وقوعه.  نرمز لهذه المتغيرات ب X₁, X₂, . . . X_k   حيث  X₁ + X₂ + . . . + X_k = n .     

يحسب احتمال الحدث المركب: X₁ =  x₁, X₂   =  x₂,  . . .,  X_k = x_k   كما يلي :

(‌ب)                      خصائص التوزيع المتعدد

E(X₁) = np₁, E(X₂) = np₂, . . . ,               E(X_k) = np_k

V(X₁)  = np₁q₁, V(X₂) = np₂q₂,  . . .       V(X_k) = np_kq_k

(‌ج)                       العلاقة مع التوزيع الهندسي الزائد المتعدد

في التوزيع الهندسي الزائد المتعدد، عندما Nà∞, Nià∞, Ni/N àpi  ؛ يستخدم التوزيع المتعدد  لحساب الاحتمالات.

مثال: إذا رمينا قطعة نرد 42 مرة، أحسب احتمال أن يظهر كل رقم عدد من المرات يتناسب مع الرقم ذاته (الرقم 1 يظهر مرتين، الرقم 2 يظهر 4 مرات، الرقم 3 يظهر 6 مرات وهكذا).

مثال3. نسحب من صندوق به 5 كريات مرقمة من 1 إلى 5  سبع مرات على التوالي كرية ثم نرجعها إلى الصندوق. أوجد احتمال: 3 كريات ذات رقم 1، كريتين ذات رقم 2 وكريتين ذات رقم 4.

3           توزيع بواسون^[1] Distribution de Poisson

(‌أ)  استنتاج صيغة قانون توزيع بواسن

لتكن لدينا تجربة برنولية مكررة عدد كبير جدا أو لانهائي من المرات. مبدئيا المتغيرة X التي تمثل عدد النجاحات تتبع التوزيع الثنائي، لكن قد يصعب حساب الاحتمال باستعمال صيغة هذا التوزيع عندما تكون n كبيرة. مثلا إحتمال 20 نجاح إذا كانت n = 100 هو: .

عندما تتكرر التجربة باستمرار؛ يصبح عدد مرات تكرار التجربة مقاسا بالزمن، ويكون احتمال تحقق الحدث في لحظة زمن صغيرا جدا. نحتاج في هذه الحالة إلى إيجاد صيغة عامة تعادل صيغة التوزيع الثنائي عندما n يؤول إلى ∞ .

نضع λ ثابت بحيث p = λ/n  :

                            

  

      

 

لكن :          وبما أن             فإن:

و هو احتمال x نجاح في وحدة زمن واحدة حسب توزيع بواسون حيث λ > 0.  ونكتب X~P(λ)

ملاحظة:                                             

(‌ب)                     خصائص توزيع بواسون

(‌ج)                      حساب احتمال عدد من الأحداث في t وحدة زمن.

من أجل عدد أو مقدار t من وحدات الزمن نعوض λ ب  λt فنجد:

مثال. بفرض أن عدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى مركز هاتفي معين تتبع توزيع بواسون بمعدل λ=5  في الثانية. أحسب احتمال وصول 7 مكالمات في ثانية ونصف.

(‌د) حساب احتمال عدد من الأحداث من فئة معينة.

إذا كان X يتبع توزيع بواسون بمعدل λ، فإن Y= aX هو الآخر يتبع توزيع بواسون بمعدل aλ.

مثال. بفرض أن عدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى مركز هاتفي معين تتبع توزيع بواسون بمعدل λ=5  في ثانية، وأن 6% من هذه المكالمات هي مكالمات دولية. أحسب احتمال أن تصل 9 مكالمات دولية في ثانية.

(‌ه)  التمثيل البياني لتوزيع بواسون

 دالة توزيع بواسون هي دالة متناقصة لكون قوة e سالبة (وهي أقوى من قوة λ )، لكونه توزيعا متقطعا، يرسم توزيع بواسون من خلال مدرج أعمدة (Diagramme en bâtons). هذا قد يصعب ملاحظة سلوك التوزيع إلا باستخدام عدة أمثلة بمعالم متصاعدة بالتدريج، حيث يظهر أن التوزيع يقترب شيئا فشيئا من التوزيع الطبيعي لما λ كبير بما فيه الكفاية. الرسوم البيانية التالية تبين ذلك.

رسم  7     سلوك توزيع بواسون عند زيادة  المعلمة من 1 إلى  2  إلى 5 (من اليسار إلى اليمين)

(‌و)  استخدام توزيع بواسون بدلا من التوزيع الثنائي.

عندما nà∞ والمتوسط ثابت يؤول التوزيع الثنائي إلى التوزيع بواسون. عمليا يعطي توزيع بواسون نتائج قريبة من التوزيع الثنائي لما:

n ≥ 30        وnp < 5          أو nq < 5

 ويستخدم بعض من الإحصائيين أيضا كشرط لاستعمال قانون بواسون بدلا من القانون الثنائي القاعدة التالية[2]:

n ≥ 25    و p ≤ 0,1 

مثال : نأخذ عشوائيا 10 وحدات من انتاج آلة نسبة إنتاجها التالف 10 % .  أحسب احتمال أن يكون هناك وحدتان تالفتان.

P(X = 2) = C²₁₀ (0,1²) (0.9⁸) = 0.1937

ط2. باستعمال توزيع بواسون:         نحسب أولا قيمة المعلمة λ (معلمة قانون بواسون):

λ = µ = np = 10 * 0,1 = 1

                       P(2) = λ^x * e^-λ/x! = (1² * e ^-1) / 2 ! = 1/(2e) = 1,1839 

(‌ز) الاستخدام العملي لتوزيع بواسون

ظل توزيع بواسون لفترة طويلة يستعمل فقط لتمثيل الأحداث النادرة، لكنه اليوم يستعمل في مجالات متعددة. فمن الدراسة الشهيرة ل(Ladislaus Bortkiewics)  عن حوادث إصابات الجنود بصكات الجياد في الجيوش أصبح اليوم توزيع بواسون يستعمل في شتى المجالات؛ منها مراقبة الجودة إحصائيا، تسيير ظواهر الانتظار، الاتصالات (عدد المكالمات في وحدة زمن)، كما يستخدم في الفيزياء النووية لدراسة عدد الجزيئات المنبعثة من مادة مشعة وفي البيولوجيا الدقيقة (microbiologie) لمراقبة تكاثر البكتيريا في حقل تجارب، كما يستخدم في البيولوجيا وحتى في علم الأحوال الجوي. 

في مجال التسيير، يستخدم توزيع بواسون بشكل خاص عند دراسة مسائل متعلقة "بظواهر  الانتظار"؛ ففي هذا النوع من المسائل، كثيرا ما يفترض أن وصول الزبائن إلى مكان الخدمة يتبع توزيع بواسون. من أمثلة ذلك: عدد الطائرات التي تصل إلى المطار في وحدة زمن، عدد البواخر التي تصل إلى ميناء في وحدة زمن، عدد الزبائن الذين يصلون إلى مكتب بريدي في وحدة زمن، عدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى مركز هاتفي، عدد الحالات الاستعجالية التي تصل إلى مستشفى، ... تسمى هذه الظواهر في ن

---

[1] باسم سيميون دونيز بواسونSiméon-Denis Poisson (1781-1840)  الفيزيائي و الرياضي الفرنسي الذي استخدم هذا لقانون سنة 1837 في كتابه بحث في احتمال الأحكام في مجال الجريمة و في المجال المدني (Recherche sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile)  حيث أدخل كنهاية لقانون باسكال والقانون الثنائي. إلا أن أول استعمال له للقانون الذي يحمل اسمه يعود إلى 1830. تجدر الإشارة إلى أن بواسون صاحب الفضل في نظرية مهمة أخرى هي نظرية الأعداد الكبيرة التي تنسب لشيبيشيف. أنظر ج ج دراوزبيك [1997].

[2]  أنظر دروزبيك 1997، ص 262.