الأربعاء، 27 أفريل، 2011

محاضرات الاحصاء الرياضي 3

الفصل II. المتغيرة العشوائية
مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة
مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة و توزيعها الاحتمالي

المبحث 1. مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة وتوزيعها الاحتمالي
مفهوم المتغيرة العشوائية
مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة
التوزيع الاحتمالي للمتغيرة العشوائية المتقطعة
شروط دالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
دالة التوزيع للمتغيرة العشوائية المتقطعة

مسألة: أجريت دراسة على 1000 طفل أصيب خلال السنوات الثلاث الأولى من عمره بمرض ما. بينت الدراسة أن احتمال الإصابة مرتبط بالزمن (X: السنة) من خلال دالة الكثافة التالية:

 أحسب احتمال أن تكون إصابة طفل مختار عشوائيا من العينة المدروسة في السنة الأولى.
يعالج المرض لمدة شهر، شهر ونصف، أو 3 أشهر حسب الجدول التالي:
X الأشهر 1 1.5 3
الاحتمال 0.5 0.3 0.2
 أحسب احتمال أن تكون مدة علاج طفل من العينة شهر ونصف على الأكثر.
1 مفهوم المتغيرة العشوائية
هي قيمة متغيرة يلحق بقيمها احتمالات تحقق كل قيمة. يرمز للمتغيرة ع بحرف لاتيني كبير. ونميز بين م ع المتقطعة وم العشوائبة المتصلة أو المستمرة.
مثال : في تجربة إلقاء مكعب نرد يمكن أن نسمي الوجه الذي يستقر عليه الكعب متغيرة عشوائية X. القيم الممكنة لX هي: 1، 2، 3، 4، 5، 6. بكل قيمة يمكن أن نلحق احتمال تحققها، وهو هنا 1/6. ونكتب مثلا :
,… P(X = 1) = f(1) = 1/6, P(X = 2) = f(2) = 1/6
لاحظ أن القيم الممكنة ل X (1، 2، 3، 4، 5، 6 ) هي متنافية، ولذلك فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1.
مثال 2. في تجربة إلقاء قطعة نقدية مرتين يمكن أن نعين المتغيرة العشوائية X التي تمثل عدد مرات الحصول على كتابة. في هذه الحالة القيم الممكنة ل X هي 0، 1، 2. لا حظ أنه يمكن تعيين متغيرات عشوائية أخرى انطلاقا منن نفس التجربة، مثلا Y عدد مرات الحصول على صورة، وهي متغيرة تأخد القيم 0، 1، 2، ثم المتغيرة Z بحث Z = X - Y ...
القيم الممكنة ل X هي 0، 2، -2. الاحتمالات الملحقة بقيمها يمكن حسابها كما يلي:
P(Z = 0) = P(X – Y = 0) = P(X = 0 et Y = 0 ou X = 1 et Y = 1 ou X = 2 et Y = 2) =>
P(Z = 0) = 0 + P(X = 1 et Y = 1) + 0 = 2 * 0.5² = 0.5
2 المتغيرة العشوائية المتقطعة
و تسمى أيضا م ع منفصلة، وهي التي تأخذ عددا منتهيا من القيم الممكنة في مجال مغلق.
مثال: داخل المجال المغلق [2, 5] المتغيرة X المعرفة في المثال الأول تأخذ 4 قيم ممكنة.
3 التوزيع الاحتمالي للمتغيرة المتقطعة
هي مجموعة القيم الممكنة مع الاحتمالات المرتبطة بقيم المتغيرة. نرمز للمتغيرة بحرف كبير وللقيم التي تأخذها المتغيرة بحرف صغير. نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) . وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية.
مثال: التوزيع الاحتمالي لم ع للمثال الأول (إلقاء مكعب نرد) يكتب كما يلي:
X 1 2 3 4 5 6
P(X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
مثال 2. التوزيع الاحتمالي ل X، عدد مرات الصورة في رميتين لقطعة نقدية:
X 0 1 2
P(X = x) 1/4 2/4 1/4 1
4 شروط دالة الكثافة للمتغيرة المتقطعة
نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية. لكي يمكن اعتبار دالة ما، أيا كانت، دالة كثافة احتمالية يجب أن يتحقق شرطان اثنان:

مثال: نأخذ دالة الكثافة ل X نتيجة لإلقاء حجر نرد: f(1) = f(2) = f(3) = … f(6) = 1/6 ≥ 0 ,
الشرط الأول محقق، والشرط الثاني أيضا لأن: Σf(x) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 6(1/6) = 1
5 التمثيل البياني لدالة الكثافة الاحتمالية ل م ع المتقطعة
تمثل المتغيرة العشوائية المتقطعة ليس من خلال منحنى ولكن من خلال أعمدة متوازية على محور X.
مثال: نمثل بيانيا منحنيات دوال الكثافة ل X وZ المعرفة على إلقاء قطعة نقدية مرتين.

رسم 3 التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
6 دالة التوزيع F(x) للمتغيرة العشوائية المتقطعة
تعرف دالة التوزيع - وتسمى أيضا "الدالة التجميعية" – كما يلي:
F(x) = P(X ≤ x)
ويمكن استنتاج دالة التوزيع من دالة الكثافة الاحتمالية f(x) كما يلي:

إذا كانت X تأخذ عددا منتهيا من القيم فإن F(x) يمكن تعريفها كما يلي:




مثال: أوجد قيم F(x) وF(z) للأمثلة السابقة ومثلهما بيانيا.
2 1 0 X

1/4 1/2 1/4 f(x)
1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x)

2 0 -2 Z
1/4 1/2 1/4 f(x)
1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x)


ملاحظة. تأخذ دالة التوزيع للم ع المتقطعة شكلا سلميا، وهي لا تكون متناقصة في أي مجال، وأكبر قيمة ممكنة لها هي 1.


المبحث 2. مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة وتوزيعها الاحتمالي
تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة
التوزيع الاحتمالي للمتغيرة العشوائية المستمرة
خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة
دالة التوزيع للمتغيرة العشوائية المستمرة
قاعدة لايبنيتز
1 تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة
هي متغيرة ع تأخذ عددا لا متناهيا من القيم في مجال محدود، أو هي تأخذ أي قيمة داخل هذا المجال. من أجل هذا فأن وحدات قياس المتغيرة الميتمرة تكون مستمرة مثل الزمن، الوزن، المسافة، الحجم، ...
2 التوزيع الاحتمالي المستمر
هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها المتغيرة ع المستمرة والاحتمالات الملحقة بها. نسمي توزيعا كهذا دالة الكثافة الاحتمالية أو دالة الاحتمال، وهي ممثلة بمنحنى متصل.
لاحظ أنه بما أن X تأخذ عددا لا متناهيا من القيم داخل أي مجال، فإن احتمال قيمة بعينها هو احتمال يؤول إلى الصفر.P(X=x) 0 لذلك فإن دالة الكثافة تستعمل لحساب احتمال مجال. ويكون ذلك بحساب المساحة تحت منحنى f(x) بين حدود المجال.


لاحظ أن إشارة التكامل هنا تقابل إشارة المجموع في
حالة المتغيرة ع المتقطعة.

3 خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة
باستبدال إشارة التكامل بإشارة المجموع نجد أن شروط دالة
الكثافة الاحتمالية للم ع المستمرة تكتب كما يلي :

من البديهي إذا أن منحنى دالة الكثافة لا يمكن أن ينزل أسفل محور الم ع، كما أن المساحة الإجمالية بين المنحنى والمحور الأفقي تساوي الواحد.
هذه الخصائص تفيدنا في حساب احتمالات بعض المجالات من خلال احتمالات مجالات أخرى.
مثال: أوجد قيمة الثابت C التي تحقق الشرطين الأول والثاني لدالة الكثافة الاحتمالية في الدالة التالية:
 أحسب احتمال أن تكون X تنتمي للمجال من 1 إلى 2.
 أحسب احتمال أن تكون X لا تنتمي للمجال من 1 إلى 2.


لكي تكون x دالة كثافة يجب أن يكون C = 1/9 .


4 دالة التوزيع F(x) للمتغيرة العشوائية المستمرة
تعرف دالة التوزيع للمتغيرة المستمرة كما يلي:
لدالة التوزيع أهمية أكبر بالنسبة للمتغيرة المستمرة. السبب في ذلك أننا نهتم، في حالة المتغيرة المستمرة، باحتمال مجال وليس باحتمال نقطة، ولحساب احتمال مجال من الأيسر التعويض في دالة التوزيع بدلا من حساب التكامل في كل مرة. يتضح ذلك من القاعدة التالية: بفرض a, b نقطتان من مجال تعريف X، بحيث b > a . لحساب احتمال أن تكون X تنتمي إلى المجال ]a, b] :



مثال:
أوجد دالة التوزيع للمتغيرة المذكورة في المثال السابق.
استخدم دالة التوزيع لحساب الاحتمال: P(1< x <2). 5 قاعدة لايبنيز Règle de LEIBNITZ تفيد هذه القاعدة الرياضية العامة في استنتاج أن مشتقة دالة التوزيع هي دالة الكثافة: مثال: أوجد دالة الكثافة للمتغيرة X إذا كانت دالة التوزيع كما يلي: 6 خلاصة المبحث الأول و الثاني يتم تعريف التوزيع الاحتمالي (أو القانون الاحتمالي) لمتغيرة عشوائية من خلال تحديد القيم الممكنة للمتغيرة و الاحتمالات المقابلة لها. يتم هذا التحديد إما من خلال جدول ) جدول التوزيع الاحتمالي) أو دالة، تسمى دالة كثافة الاحتمالية. لكي نقول عن دالة ما أنها دالة كثافة احتمالية يجب أن تكون موجبة دوما و أن يكون مجموع الاحتمالات مساويا للواحد. الدالة التجميعية (أو دالة التوزيع) تمثل احتمال مجال من أصغر قيمة للمتغيرة إلى نقطة ما: في حالة م متقطعة و في حالة م مستمرة. نظرا لتعريفها تأخذ دالة التوزيع مسارا متزايدا (أو ثابتا على أجزاء من المجال). تبرز أهمية الدالة التجميعية أكثر عندما تكون المتغيرة مستمرة لأننا نهتم حينها باحتمالات مجالات. يمكن استنتاج دالة الكثافة من خلال اشتقاق دالة التوزيع. الفصل III. التوقع الرياضي والتباين التوقع الرياضي التباين والانحراف المعياري العزوم الدالة المتجددة للعزوم نظرية شيبيشيف، نظرية الأعداد الكبيرة مسألة: أرسلت مؤسسة عروضا إلى 4 عملاء. احتمال تلقي طلبية من العميل الأول هي 0.2، من العميل الثاني 0.3، من العميل الثالث 0.35 و0.4 من العميل الرابع. في انتظار ردود العملاء ما هو العدد المتوقع من الطلبيات؟ في العديد من الحالات لا يكفي حساب احتمال تحقق حدث أو أحداث معينة بل نحتاج للخروج بتوقع معين يلخص الوضعية المطروحة أمامنا. من جهة أخرى قد يصعب المفاضلة بين خيارات متاحة مقيمة بمبالغ معينة بسبب ارتباط كل مبلغ بمخاطرة مختلفة؛ من المعروف أن الاستثمارات الأكثر مردودية هي تلك التي تتضمن أكبر مخاطرة، فكيف يمكن أخذ في الحسبان المخاطرة والمبلغ المتوقع وبطريقة دقيقة وموضوعية؛ إن طريقة التوقع وبقية المفاهيم الأخرى الواردة أعلاه يمكن أن تساعدنا في ذلك. المبحث 1. التوقع الرياضي Espérance mathématique تعريف التوقع توقع دالة 1 تعريف التوقع يعرف التوقع الرياضي لمتغيرة عشوائية متقطعة كما يلي: و يعرف التوقع الرياضي لمتغيرة عشوائية مستمرة كما يلي: نرمز للتوقع أحيانا ب μ أو μx. مثال: نلقي قطعة نقدية 4 مرات. أحسب العدد المتوقع من المرات التي نحصل فيها على وجه. المجموع 4 3 2 1 0 X عدد مرات وجه 16/16 = 1 (1/2)4 4 (1/2)4 6 (1/2)4 4 (1/2)4 (1/2)4 P(X) 32/16 = 2 4 (1/2)4 12 (1/2)4 12 (1/2)4 4 (1/2)4 0 XP(X) العدد المتوقع هو مرتين من بين 4 رميات. مثال 2. نلقي قطعة نقدية مرة واحدة. يربح اللاعب 20 دج إذا حصل على الرقم 2، ويربح 40 دج إذا حصل على الرقم 4، و60 دج إذا حصل على الرقم 6، ويخسر 10 دج إذا حصل على الرقم 1، 30 دج إذا حصل على الرقم 3، و50 دج إذا حصل على الرقم 5. تحقق مما إذا كانت العبة متوازنة (هل توقع الربح يساوي توقع الخسارة). الجواب هو أن اللعبة غير متوازنة لأن توقع الربح أكبر من توقع الخسارة E(x) = 30/6 = 5 > 0
المجموع 6 5 4 3 2 1 نتيجة الرمي
- 60 -50 40 -30 20 -10 نتيجة المراهنة X
6/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P(X=x)
(120-90)/6>0 60/6 -50/6 40/6 -30/6 20/6 -10/6 X*P(X=x)
مثال3. أوجد التوقع الرياضي للمتغيرة ذات دالة الكثافة التالية:


2 توقع دالة
يستخدم توقع دالة عند حساب عدد من المقاييس مثل التباين، العزوم المركزية والعزوم المرتبطة بالأصل.
لتكن X م ع لها دالة كثافة f(x)، وy = g(x) م ع تابعة لها.

في حالة X م متصلة:

مثال1. نلقي قطعة نقدية مرتين. نسمي X عدد مرات الحصول على صورة، وY=X². أحسب E(X) وE(Y) .
المجموع 2 1 0 X
1 1/4 1/2 1/4 P(X = x)
E(X) =1 1/2 1/2 0 X*P(X)
4 1 0 X²
E(X²) = 3/2 1 1/2 0 X²*P(X)
مثال2: لتكن X م ع ذات دالة الكثافة التالية، وY = g(x) = 3x² - 2x. أحسب E(Y).


3 خصائص التوقع الرياضي
E (C) = C
E(CX) = CE(X)
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
إذا كانت المتغيرتان مستقلتان. E(XY) = E(X)E(Y)
مثال: تتوقع مؤسسة أن تتلقى كل شهر 3 طلبيات من العميل A و4 من B .
 أحسب العدد المتوقع من الطلبيات المتلقاة من A في السنة.
 أحسب العدد الإجمالي المتوقع من الطلبيات المتلقاة في شهر.
يعين كل عميل من طرفه مندوبا عن كل طلبية لمتابعة إتمامها. كم تتوقع أن يلزم من مقابلة لتعريف مندوبي العميل A بمندوبي B.
E(12A) = 12E(A) = 12(3) = 36
E(A*B) = E(A)*E(B) = 4*3 = 12.
E(A + B) = E(A) + E(B) = 3 + 4 = 7
المبحث 2. التباين والانحراف المعياري Variance et écart type
تعريف التباين
خصائص التباين
المتغيرة المعيارية
1 تعريف التباين
يعرف التباين لمتغيرة عشوائية كما يلي:

و الانحراف المعياري هو جذر التباين. σ = √V(X) = √σ².
في حالة المتغيرة العشوائية المتقطعة :
في حالة المتغيرة العشوائية مستمرة :
مثال. نلقي قطعة نقدية مرتين. نسمي X عدد مرات الحصول على صورة، أحسب V(X) .
المجموع 2 1 0 X
1 1/4 1/2 1/4 P(X = x)
E(X) = μ =1 1/2 1/2 0 X*P(X)
1 0 1 (X-μ)²
V(X) = 1/2 1/4 0 1/4 (X-μ)² * P(X)

مثال 2. لتكن X م ع ذات دالة الكثافة التالية؛

2 خصائص التباين
V(X) = E(X²) - E(X)²
V(CX) = C²V(X) , V (C) = 0
في حالة استقلال المتغيرتان عن بعضهما
V(X + Y) = V(X) + V(Y) , V(X - Y) = V(X) + V(Y)
مثال: نلقي قطعة نقدية مرتين. نسمي X عدد مرات الحصول على صورة، أحسب V(X) باستخدام الصيغة
V(X) = E(X²) - E(X)² .
لتكن المتغيرة Y = 2X. أحسب V(Y) ، نلقي حجر نرد ونسمي Z النتيجة المحصل عيها. أحسب تباين المتغيرة W حيث: W = Z - Y
المجموع 2 1 0 X
1 1/4 1/2 1/4 P(X = x)
E(X) = μ =1 1/2 1/2 0 X P(X)
4 1 0 (X)²
E(X)² = 3/2 1 1/2 0 (X)² * P(X)

V(X) = E(X²) - E(X)² = (3/2) - 1 = 1/2
V(Y) = V(2X) = 2²V(X) = 4 (1/2) = 2.
V(W) = V(Z-2X) = V(Z) +V(2X) = V(Z) + 2²V(X).
V(Z) = E(Z²) – E(Z)² = (1/6)[1²+2²+3²+4²+5²+6²]-(1/6)[1+2+3+4+5+6] = 70/6
V(W) = (70/6) + 4 (1/2) = 82/6 = 13.67
3 المتغيرة المعيارية Variable centrée réduite
يمكن أن نلحق بأي متغيرة عشوائية X متغيرة معيارية (تسمى أيضا المتغيرة المركزية) ويرمز لها X* . تلحق المتغيرة المعيارية بالمتغيرة الحقيقية من أجل المقارنة لأن المتغيرة المعيارية ليس لها وحدة كالمتر أو الساعة ... وإنما هي تعبر عن كل قيمة x ل X من خلال المسافة بين x والتوقع μ محسوبة لس بالوحدة الأصلية وإنما بالانحرافات المعيارية.

من خلال خصائص التوقع والتباين نستخرج التوقع والتباين للمتغيرة المعيارية.
أحسب تباين X.



مثال: أحسب X*من أجل متوسط 70، انحراف معياري 5، وX يساوي: 55، 60، 50، 75، 80، 70.
الجواب: القيم هي: -3، -2، -4، 1، 2، 0.
مثال 2. يتدرب عاملان أحمد وعلي من أجل المشاركة في ماراتون عيد العمال 1 ماي. يشترط يوم المسابقة أن يكون وزن المترشح لا يتجاوز المجال μ ± 1.5σ .
إذا كان الوزن المتوسط بالكغ هوμ = 70 والانحراف المعياري هو 5 كغ. هل سيقبل العاملان أحمد وعلي إذا كان وزنهما: 77 كغ، و80 كغ؟
الجواب: مجال القبول هو من 62.5 كغ إلى 77.5 كغ، لذلك فسيرفض علي ويقبل أحمد.
4 خلاصة
التوقع الرياضي و التباين هي أهم المؤشرات المعبرة عن خصائص المتغيرة و يحسبان كما يلي، حسب كون المتغيرة متقطعة أو مستمرة:


لكل من التوقع و التباين 4 خصائص أساسية تتمثل فيما يلي:
V(C) = 0 توقع عدد ثابت E (C) = C
V(CX) = C²V(X) E(CX) = CE(X)
في حالة استقلال المتغيرتان عن بعضهما
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
, V(X - Y) = V(X) + V(Y) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
V(X) = E(X²) - E(X)² في حالة استقلال المتغيرتان عن بعضهما. E(XY) = E(X)E(Y)

من أجل المقارنة بين المتغيرات تستخدم المتغيرة المعيارية التي تسمح بالتعبير عن قيمة x ليس من خلال وحداتها الأصلية (كغ، متر، زمن، ...) وإنما بعدد الانحرافات المعيارية التي تفصل بين القيمة x والتوقع الرياضي.
التوقع الرياضي والتباين للمتغيرة المعيارية هما على التوالي 0 و 1.

لحساب التوقع الرياضي لدالة ما في X (مثلا التباين، أو X²) نضرب قيم الدالة في الاحتمالات المقابلة لX:




المبحث 3. العزوم و الدالة المتجددة للعزوم
العزوم
الدالة المتجددة للعزوم
1 العزوم Les moments
كما التباين يعتبر العزم من تطبيقات توقع دالة. نميز بين نوعين من العزوم: العزم المركزي والعزم المرتبط بالأصل. تستخدم العزوم في حساب عدد من المقاييس مثل معامل التماثل (coefficient d'asymétrie) α3 ومعامل التفلطح (Kurtosis ou coefficient d'aplatissement) α4.
(‌أ) العزم المركزي μr Le moment central.
يعرف العزم المركزي من الدرجة r للم ع X كما يلي:


يحسب العزم المركزي حسب طبيعة المتغيرة متقطعة أو مستمرة كما يلي:

مثال . أحسب العزوم المركزية من الدرجة 0، 1، 2 و3 للمتغيرة ع ذات دالة الكثافة:





مثال: أحسب العزوم المركزية من الدرجة 0، 1، 2 و3 للمتغيرة ع المتقطعة التي تمثل عدد مرات الحصول على صورة في رميتين لقطعة نقدية.
(‌ب) العزم المرتبط بالأصل Moment autour de la moyenne μ'r
يعرف العزم المرتبط بالأصل كما يلي:

مثال: أحسب العزوم المرتبطة بالأصل من الدرجة 0، 1، 2، 3 و4 للمتغيرة ع المتصلة ذات دالة الكثافة:

مثال2. أحسب العزوم المرتبطة بالأصل من الدرجة 0، 1، 2، 3 و4 للمتغيرة ع المتقطعة التي تمثل عدد مرات الحصول على صورة في رميتين لقطعة نقدية.
(‌ج) العلاقة بين العزم المركزي والعزم المرتبط بالأصل

يمكن أيضا الحصول على العزوم المرتبطة بالأصل من الدرجة r من خلال اشتقاق الدالة المتجددة للعزوم r مرة.
2 الدالة المتجددة للعزوم La fonction génératrice des moments Mx(t)
الدالة المتجددة للعزوم هي دالة مرتبطة بمتغيرة (معلمة) t بالإضافة إلى ارتباطها ب X، ود م ع كما يلي:

في حالة م ع متقطعة: و في حالة م ع مستمرة:

مثال: أكتب الدالة المتجددة للعزرم من أجل t ≠ 0للم ع المعرفة في كما يلي:




تستخدم الدالة المتجددة للعزوم لحساب العزم المركزي من درجة r:

كما تستخدم الد م ع لإثبات تساوي توزيعين احتماليين، مثلا عند تحقق شروط معينة، ونحتاج ذلك خاصة عند دراسة التقارب بين التوزيعات الاحتمالية. النظرية التي نستعملها في ذلك هي كالآتي:
لتكن م ع X وY لهما الد م ع Mx(t) وMy(t) ؛ نقول أن م ع X وY لهما نفس التوزيع الاحتمالي إذاا:
Mx(t) = My(t)
كما تستخدم الد م ع لإثبات إستقلال توزيعين احتماليين. النظرية التي نستعملها في ذلك هي كالآتي:
إذا X وY م ع مستقلتان، لهما الد م ع Mx(t) وMy(t) ؛ فإن: Mx+y(t) = Mx(t) . My(t)
3 خلاصة
العزم و الدالة المتجدد للعزوم هي عبارة عن توقعات دوال (أنظر المبحث السابق). يدخل العزم في حساب بعض المؤشرات مثل التباين و التوقع الرياضي، معامل التفلطح و معامل التماثل.
يعرف العزم المركزي من الدرجة r للم ع X كما يلي:
يعرف العزم المرتبط بالأصل كما يلي:

تعرف الدالة المتجددة للعزوم كما يلي:
تستخدم الدالة المتجددة للعزوم لإثبات التقارب بين توزيعات احتمالية و ذلك من خلال نظريتين أساسيتين.
 نقول أن م ع X وY لهما نفس التوزيع الاحتمالي إذاا: Mx(t) = My(t)
 إذا X وY م ع مستقلتان فإن: Mx + y (t) = Mx(t) . My(t)


المبحث 4. نظرية شيبيشيف ونظرية الأعداد الكبيرة
متراجحة شيبيشيف
نظرية الأعداد الكبيرة
1 متراجحة شيبيشيف Inégalité de Bienaymé CHEBYCHEV
هي نظرية تخص م ع المتقطعة والمستمرة على السواء، التي يكون لها متوسط وتباين محدود. تستخدم هذه النظرية في قياس التشتت حول التوقع μ، وذلك عن طريق احتمال (أو نسبة) المفردات التي المسافة (الفرق) بينها وبين μ تزيد عن مقدار ما: P(-ε ≥ (x - μ) ≥ ε) أو بعبارة أكثر اختصارا: P(|x - μ| ≥ ε). حسب نظرية شيبيشيف فإن هذه النسبة لا تزيد عن σ²/ε²، وذلك مهما كانت طبيعة التوزيع. ونعبر عن هذه النظرية كما يلي:
إذا كانت X م ع متصلة أو متقطعة، لها متوسط μ وتباين محدود σ²، فإنه مهما يكن ε عدد موجب تماما:

و من أجل صياغة أكثر دلالة، نضع: ε = k σ فنجد :
لاحظ أنه، انطلاقا من نفس النتيجة، لدينا أيضا:

سؤال: هل هذه العبارة صحيحة: إذا كان أقل من 10 % من الفائزين في امتحان الباكالوريا يحصلون على تقدير أكثر من حسن، فهذا يعني أن أكثر من 90% من الفائزين في الباكالوريا يحصلون على تقدير أقل من حسن. الجواب نعم.
مثال: لتكن X م ع تتبع توزيعا أيا كان؛ لها متوسط μ وتباين محدود σ²، وε عدد موجب تماما؛
1. أحسب الحد الأقصى للاحتمال P(-ε ≥ (x - μ) ≥ ε) من أجل ε = 2 σ، ε = 3 σ، ε = 4 σ.
2. أحسب الحد الأدنى للاحتمال P(-ε < (x - μ) < ε) من أجل ε = 2 σ، ε = 3 σ، ε = 4 σ. مثال 2. يتم أخذ أوزان عمال مركب الحجار من أجل ترشيحهم للمشاركة في ماراتون عيد العمال 1 ماي. 1. كيف يمكن تحديد مجال القبول بحيث يتم ترشيح على الأقل 75% من العمال، رفض ترشيح أقل من 25% من العمال؟ 2. حدد قيم المجال إذا كان الوزن المتوسط الافتراضي هو 70 كغ، والانحراف المعياري 5كغ. 1. إن أكثر من 75 % العمال لهم أوزان لا تبتعد بأكثر من σ 2 عن المتوسط، وهذا يمكن التعبير عنه بطريقة أخرى بالقول: إن أقل أو يساوي من 25 بالمئة من العمال لهم أوزان أبعد من الوزن المتوسط بأكثر من σ2. إذا يمكن اتخاذ مجال قبول μ±2σ لتحقيق الهدف المسطر. 2. المجال الذي يحقق الهدف حسب القيم المعطاة للمتوسط والانحراف المعياري هو من 60 إلى 80 كغ. مثال 3. متوسط مدة التمدرس في مجتمع معين هي 8 سنوات، والانحراف المعياري σ = 1 . 1. أحسب أدنى احتمال لمدة تمدرس بين 6 و10 سنوات لفرد مختار عشوائيا من هذا المجتمع. 2. أحسب أقصى احتمال لمدة تمدرس لا تزيد عن 6 سنوات أو لا تقل عن 10 سنوات. أدنى احتمال لمدة تمدرس بين 6 و10 سنوات لفرد مختار عشوائيا من هذا المجتمع هي 0.75. أدنى احتمال لمدة تمدرس لا تزيد عن 6 سنوات أو لا تقل عن 10 هو 0.25. 2 نظرية الأعداد الكبيرة Théorème des grands nombres تعتبر نظرية الأعداد الكبيرة من نتائج نظرية شيبيشيف ويستفاد منها بشكل خاص في نظرية المعاينة. تصاغ هذه النظرية بالشكل الآتي: لتكن المتغيرات X1، X2، . . . . متغيرات عشوائية مستقلة لها نفس التوزيع الاحتمالي ولكل منها نفس المتوسط μ والتباين σ² إذا كانت Sn = X1 + X2 + . . . +Xn (n = 1, 2, . . .), بما أن E(Sn/n) = µ فإن مضمون هذه النظرية هو أن احتمال أن تبتعد المتغيرة Sn/n عن قيمتها المتوقعة بأكثر من ε هو 0 عندما n →∞. تسمى هذه الصياغة أيضا بقانون الأعداد الكبيرة الضعيف. حيث أن قانون الأعداد الكبيرة القوي هو: Sn/n = µ] = 1 P[lim n→∞ 3 خلاصة نظرية شيبيشاف ونظرية الأعداد الكبيرة من النظريات التي تقيس تشتت المتغيرة و هي من تطبيقات توقع دالة:  إذا كانت X م ع متصلة أو متقطعة، لها متوسط μ وتباين محدود σ²، فإنه مهما يكن ε عدد موجب تماما:  لتكن المتغيرات X1، X2، . . . . متغيرات عشوائية مستقلة لها نفس التوزيع الاحتمالي ولكل منها نفس المتوسط μ والتباين σ² إذا كانت Sn = X1 + X2 + . . . +Xn (n = 1, 2, . . .), الفصل IV. التوزيعات الاحتمالية الأكثر استخداما التوزيعات الاحتمالية المتقطعة التوزيعات الاحتمالية المستمرة المبحث 1. التوزيعات لاحتمالية المتقطعة الأكثر استخداما التوزيع الهندسي الزائد، التوزيع الهندسي الزائد المتعدد، توزيع برنولي، التوزيع الثنائي، التوزيع الثنائي السالب (باسكال)، التوزيع الهندسي، التوزيع المتعدد، توزيع بواسون. بعد أن عرفنا مفهوم المتغيرة العشوائية والتوزيع الاحتمالي يمكننا الآن أن ندرس عدد من التوزيعات الاحتمالية الشهيرة. تستخدم هذه التوزيعات في حل العديد من المسائل في مجال التسيير الصناعي والتجاري وفي الإدارة. ومن أكثر هذه التوزيعات شيوعا: التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون. في نهاية المحاضرة يفترض أن يكون الطالب قادرا على استذكار القوانين المدروسة وخصائصها الأساسية، ومن خلال التطبيقات يفترض أن يتمكن من معرفة متى وكيف يمكن استخدام كل قانون. 1 التوزيع الهندسي الزائد:Distribution hyper géométrique (‌أ) استنتاج صيغة قانون التوزيع الهندسي الزائد: مثال 1. صندوق به 6 كريات منها 4 بيضاء و2 حمراء. نسحب بدون إرجاع 3كريات. احسب احتمال الحصول على كرتين بيضاوين، 3كريات بيضاء، كرية واحدة بيضاء، ولا كرية بيضاء. نفترض أننا نسحب من صندوق كريات بدون إرجاع عددها n، إذا كان الصندوق يحتوي على N كرية منها b بيضاء وr حمراء (N = b + r) فإن احتمال الحصول على عدد معين x ≤ b من الكريات البيضاء يمكن أن نحصل عليه من خلال القانون الكلاسيكي للاحتمالات (ع الحالات الملائمة /ع الحالات الممكنة) وذلك باستخدام التوفيقات: تسمى هذه الصيغة: قانون التوزيع الهندسي الزائد ونكتب b, p) X ~ H(N, حيث: p = b/N و =1-p q = r/N يمكن الآن الإجابة على أسئلة المثال كما يلي: P(X=2) = C42 . C23 / C16 = 12/20 , P(x = 3) = C43 . C20 / C63 = 1/5 , … (‌ب) خصائص التوزيع الهندسي الزائد ملاحظة: للتوزيع الهندسي الزائد علاقة بالتوزيع الثنائي سنذكرها عندما نتطرق لهذا الأخير. 2 التوزيع الهندسي الزائد المتعدد:Distribution Multi-hypergéométrique (‌أ) استنتاج صيغة قانون التوزيع الهندسي الزائد المتعدد يمكن بسهولة تعميم القانون السابق على حالة وجود أكثر من صنفين (k صنف)، حيث من كل صنف لدينا Ni كرية، (ΣNi = N) ، ولحساب احتمال نتيجة معينة؛ مثلا 2 كريات بيضاء (X1 = 2) ، 5حمراء، 1 زرقاء، . . . يمكن حساب عدد الحالات الملائمة والممكنة من خلال التوفيقات كما يلي: (‌ب) خصائص التوزيع الهندسي الزائد المتعدد ملاحظة : للتوزيع الهندسي الزائد علاقة بالتوزيع الثنائي سنذكرها عندما نتطرق لهذا الأخير. 3 توزيع برنولي Distribution de Bernoulli (‌أ) استنتاج صيغة قانون برنولي نقول عن تجربة أنها "برنولية" إذا كانت تحتمل نتيجتين (حدثين) متنافيتين A وA’. نسمي A نجاح وA’ فشل. نعتبر المتغيرة ع X التي تمثل عدد مرات النجاح، تأخذ Xالقيمة 1 عند تحقق الحدث A و0 في الحالة المعاكسة. نرمز عادة ب p "احتمال النجاح" لاحتمال تحقق الحدث A وq = 1 - p احتمال الحدث المعاكس (الفشل). يعين توزيع برنولي كما يلي : ونكتب X ~ B(1, p) (‌ب) خصائص توزيع برنولي = 1.p + 0.q = p => E(X) = p. E(X) = Σxipi
V(X) = E(X²) – E(X)² = (1².p + 0².q) – p² = p – p² = p(1- p) = pq => V(X) = qp.
الدالة المتجددة للعزوم M(t) = E(ext) = e0tq + e1t p => M(t) = q + pet.
معامل التماثل

4 التوزيع الثنائي Distribution binomiale
(‌أ) استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي:
إذا كررنا تجربة برنولي n مرة فإن X (عدد مرات النجاح) تأخذ القيم: X = 0, 1, 2, 3, . . . n
لنفترض التجربة البرنولية رمي قطعة نقدية مكررة عدد n من المرات، وX عدد مرات الحصول على صورة (F):
حالة : n = 2 X = 0, 1, 2.
P(X = 0) = q*q = q², P(X=1) = P(FP) + P(PF) = p*q + q*p = 2p1q1
حالة : n = 3 X = 0, 1, 2, 3.
P(X=3) = P(FFF) = p*p*p = p3, P(X=2) = P(FFP ou PFF ou FPF) = 3p2q1
حالة : 4n = X = 0, 1, 2, 3, 4.
P(X=3) = P(FFFP ou PFFF ou FPFF ou FFPF) = 4 p3q1
في النتيجة الأخيرة نلاحظ العدد 3 هو x ، العدد 1 هو n-x ، والعدد 4 هو عدد الطرق الملائمة للحصول على ثلاث نجاحات من بين (n=4) تجارب، ويمكن حسابه كما يلي:

وبالتالي فاحتمال عدد ما x من النجاحات من بينn تجربة برنولية يحسب كما يلي:


حيث x عدد مرات النجاح، p احتمال النجاح في التجربة الواحدة (يبقى ثابت عند تكرار التجربة)، q = 1-p احتمال الفشل وn عدد التجارب. و هو تعريف " قانون التوزيع الثنائي" ويكتب قانون التوزيع الاحتمالي أيضا كما يلي:

أو X ~ B(n, p).
(‌ب) شروط استخدام التوزيع الثنائي
o تجربة برنولية مكررة عدد محدد من المرات
o احتمال النجاح في التجربة ثابت (التجارب مستقلة)
مثال : أحسب عند رمي قطعة نقدية متوازنة 4 مرات احتمال الحصول على:
ولا مرة صورة، مرة واحدة، مرتين، 3 مرات، 4 مرات.
P(X = x) = Cxn px qn-x => P(X = 0) = C04 0.50 0.54 = 1/16
P(X = 1) = C14 0.51 0.53 P(X = 2) = C24 0.52 0.52
مثال 2: نسحب بالإرجاع 3 كريات من صندوق يحتوي 5 كريات منها 3 حمراء.
أحسب احتمال الحصول على كريتين حمراء.
P(X=2) = C23 (3/5)2 (2/5)1
(‌ج) خصائص التوزيع الثنائي
التوقع والتباين: يمكن اعتبار X مجموع متغيرات مستقلة برنولية X = X1 + X2 + … X i+ … + Xn لها نفس المعلم p وبالتالي نفس التوقع (E(Xi) = p) أيضا. إذا باستخدام خصائص التوقع والتباين نجد:
E(X) = E(X1 + X2 + … Xi + … + Xn) = ΣE(Xi) = Σpi = n p => E(X) = np
V(X) = V(X1 + X2 + … Xi + … + Xn),
Xi مستقلة إذن V(X) = ΣV(Xi) = Σpq =>V(X) = npq
مثال: أحسب التوقع والتباين للمثال السابق :

الدالة المتجددة للعزوم: باعتبار X مجموع متغيرات برنولية مستقلة X = X1 + X2 + …Xi + … + Xn لها نفس المعلم p ونفس الدالة المتجددة للعزوم: MX(t) = [q + pet]وباستخدام النظرية السابقة بخصوص الدالة م للعزوم:
"من أجل1 X وX2 م ع مستقلة لها الدالة م للعزوم Mx1(t) وMx2(t) فإن: Mx1 + x2 (t) = Mx1(t). Mx2(t)" ؛ نستنتج:
MX(t) = Mx=x1+x2+…xn(t) = Mx1(t) . Mx2(t) … Mxn(t)
MX(t)= E(ex1t) . E(ex2t) … E(exnt) => MX(t) = [q + pet]n
معامل التماثل


يكون منحنى التوزيع الثنائي متماثلا عندما α3 = 0 => 2 p = 1 => p = ½
معامل التفلطح

يكون منحنى التوزيع معتدلا عندما α4 = 3 => qp = 1/6
(‌د) قاعدة تقارب: العلاقة بين التوزيع الهندسي الزائد والتوزيع الثنائي
في حالة N كبير جدا (يؤول إلى ∞) فإن (N-n) / (N-1) تؤول إلى 1 (n محدود). ومن جهة أخرى يعطي التوزيع الثنائي نتائج قريبة من التوزيع الهندسي الزائد ويصبح السحب بدون إرجاع مطابقا تقريبا للسحب بالإرجاع.

5 التوزيع الثنائي السالب (باسكال) Distribution binomiale négative
(‌أ) استنتاج صيغة قانون التوزيع الثنائي السالب:
مثال: نرمي قطعة نقود إلى غاية الحصول على 3 مرات صورة (متتالية أو لا). أحسب احتمال أن نحصل على ذلك بعد 5 رميات، 4 رميات، 3 رميات، توقع عدد الرميات اللازمة وأحسب التباين.
من جديد ليكن لدينا تجربة برنولية (نتيجتين نجاح وفشل) مكررة، لكن هذه المرة إلى غاية الحصول على عدد معين (r) من النجاحات.X في هذه الحالة هي عدد مرات تكرار التجربة إلى غاية الحصول على r نجاح.
كيف يحسب الاحتمال ؟ نعلم أن تحقق النجاح r مرة احتماله pr واحتمال الفشل x-r مرة يساوي qx-r . إذا الاحتمال المطلوب يتضمن جداء هذين الاحتمالين pr qx-r . لكن هناك عددا من الطرق الملائمة لتحقيق r نجاح من بين X تجربة مع العلم أن آخر تجربة هي نجاح. هذا العدد يساوي إذا عدد الطرق الملائمة لاختيار r-1 نجاح من بينx-1 تجربة Cr-1x-1 (التجربة الأخيرة معلومة النتيجة).

يسمى هذا التوزيع توزيع باسكال أو الثنائي السالب ونكتب: X~B (N, r, p)
يمكن إذا الإجابة على أسئلة المثال السابق بما يلي:
P (X = 5) = C3-15-1 p3 q5-3 = C24 (½)3 (½)2 = 6 (1/8) (1/4) = 9/32
µ = r/p = 3/(1/2) = 6 , σ² = rq/p² = 3 (1/2) / (1/2)² = 12/2 = 6
(‌ب) خصائص التوزيع الثنائي السالب


6 التوزيع الهندسي Distribution géométrique
(‌أ) استنتاج صيغة قانون التوزيع الهندسي
نرمي قطعة نقدية إلى أن نحصل على صورة. احتمال أن يتطلب ذلك 4 رميات هو: P(X= 4) = P(PPPF)
نعود من جديد إلى التجربة البرنولية وهذه المرة نكرر التجربة إلى غاية الحصول على النتيجة أو الحدث المطلوب (نجاح مرة واحدة). المتغيرة العشوائية X التي تمثل عدد مرات تكرار التجربة (بما فيها المرة التي حصل فيها النجاح) تتبع التوزيع الهندسي.
إذا رمزنا لاحتمال النجاح ب p ولاحتمال الفشل ب q فإن الاحتمال يمكن كتابته كما يلي: P(X= 4) = q3p

ليست هناك تعليقات: