محاضرات الاحصاء الرياضي 2

1 ملحق

(‌أ) التعبير الهندسي عن الاحتمالات

قبل الشروع في حل مسألة مركبة للاحتمالات يستحسن تحليلها باستعمال أشكال هندسية توضح عناصر المسألة (الأحداث) والعلاقات بينها. يستخدم لهذا الغرض شجرة الاحتمال (أنظر الملحق) ومخطط فين. تبين شجرة الاحتمال الأحداث المتنافية التي تنتج عن التجربة الواحدة أو المكررة وذلك من خلال أغصان تتفرع من أصل، أما مخطط فين فيستخدم لتمثيل الأحداث الفرعية دوائر داخل مستطيل يمثل التجربة.

يراعى في رسم الشجرة أن يكون مجموع احتمالات كل تفريعة يساوي الواحد. التفريعة هي بمثابة شجرة فرعية تحتوي أحداث متنافية، لكونها تمثل النتائج المحتملة لتجربة جزئية.

مثال. نرمي قطعة نقدية مرتين. أحسب احتمال الحصول على مرتين صورة.

P(face ∩ face) = P(face) * P(face/face) = 0.5 * 0.5 = 0.25.

(‌ب) في مفهوم الحدث العشوائي

يجب الملاحظة أن كلمة حدث عشوائي لا تعني أن الحدث لا يخضع لأي قانون، بل المقصود أننا نتحدث عن حدث لا نعلم مسبقا ما إذا كان سيقع أو لا يقع. الهزيمة التي وقعت في الحرب وأي هزيمة كانت لها أسبابها وليست محض مصادفة عمياء. والحقيقة أن لا شيء في الطبيعة يقع بالمصادفة. فلا معنى لكلمة مصادفة إلا أننا لم نقصد وقوع الشيء. فعندما أقول التقيت بفلان صدفة، فهذا يعني أنني لم أقصد ولم أخطط لمقابلته. لكن هناك أسباب أدت إلى هذه الملاقاة منها أنني سلكت طريقا معينا ... كذلك إذا رمينا مكعب نرد 6 مرات فإننا لا نعلم إذا كنا سنحصل على مرة واحدة الوجه (5). لذلك قيمة P(X) (مثلا 1/6= (5)P) هي قيمة نظرية، لكن إذا رمينا مكعب عدد كبير جدا من المرات (1000 مرة مثلا) فنتوقع أن عدد مرات الحصول على الوجه (5) سيكون قريبا جدا من العدد 1000/6. موضوع علم الاحتمالات هو البحث في قوانين الأحداث العشوائية، ولذلك أطلق عليه اسم "هندسة الحظ".

(‌ج) في حساب عدد الحالات الممكنة أو الملائمة

بالإضافة إلى التوفيقات والترتيبات والأس، نحتاج أحيانا لحساب عدد الطرق الممكنة أو الملائمة إلى مفهوم surjection.

surj (n, k) = k [surj (n-1, k) + surj (n-1, k-1)] , (n, k > 0),

Surj (n, 1) = 1 , Surj (1, 1) = 1, surj (1, k >1) = 0

مثلا: في المثال (4) أحسب احتمال أن يفوز كل طالب على الأقل بمقياس واحد:

عدد الحالات الملائمة هو :

Surj (6, 4) = 4[surj (5, 4) + surj (5, 3)]

لحساب ذلك نحتاج إلى حساب سلسلة من القيم:

Surj (5, 3) = 3[surj (4, 4) + surj (4, 2)], mais: Surj (4, 2) = 2[surj (3, 2) + surj (3, 1)] ,

mais: Surj (3, 2) = 2[surj (2, 2) + surj (2, 1)],

mais : Surj (2, 2) = 2[surj (1, 2) + surj (1, 1)] = 2(0+1) = 2

=> Surj (3, 2) = 2(2+1) = 6, …

6	5	4	3	2	n k
0	0	0	0	2	2
0	0	0	6	6	3
0	0	24	36	14	4
0	120	240	150	30	5
720	1800	1560	540	62	6

الاحتمال هو إذا 1560/4096 .

الفصل II. المتغيرة العشوائية

مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة

مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة و توزيعها الاحتمالي

المبحث 1. مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة وتوزيعها الاحتمالي ^{^[1]}

مفهوم المتغيرة العشوائية

مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة

التوزيع الاحتمالي للمتغيرة العشوائية المتقطعة

شروط دالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة

التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة

دالة التوزيع للمتغيرة العشوائية المتقطعة

مسألة: أجريت دراسة على 1000 طفل أصيب خلال السنوات الثلاث الأولى من عمره بمرض ما. بينت الدراسة أن احتمال الإصابة مرتبط بالزمن (X: السنة) من خلال دالة الكثافة التالية:

ü أحسب احتمال أن تكون إصابة طفل مختار عشوائيا من العينة المدروسة في السنة الأولى.

يعالج المرض لمدة شهر، شهر ونصف، أو 3 أشهر حسب الجدول التالي:

X الأشهر	1	1.5	3
الاحتمال	0.5	0.3	0.2

ü أحسب احتمال أن تكون مدة علاج طفل من العينة شهر ونصف على الأكثر.

1 مفهوم المتغيرة العشوائية

هي قيمة متغيرة يلحق بقيمها احتمالات تحقق كل قيمة. يرمز للمتغيرة ع بحرف لاتيني كبير. ونميز بين م ع المتقطعة وم العشوائبة المتصلة أو المستمرة.

مثال : في تجربة إلقاء مكعب نرد يمكن أن نسمي الوجه الذي يستقر عليه الكعب متغيرة عشوائية X. القيم الممكنة لX هي: 1، 2، 3، 4، 5، 6. بكل قيمة يمكن أن نلحق احتمال تحققها، وهو هنا 1/6. ونكتب مثلا :

,… P(X = 1) = f(1) = 1/6, P(X = 2) = f(2) = 1/6

لاحظ أن القيم الممكنة ل X (1، 2، 3، 4، 5، 6 ) هي متنافية، ولذلك فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1.

مثال 2. في تجربة إلقاء قطعة نقدية مرتين يمكن أن نعين المتغيرة العشوائية X التي تمثل عدد مرات الحصول على كتابة. في هذه الحالة القيم الممكنة ل X هي 0، 1، 2. لا حظ أنه يمكن تعيين متغيرات عشوائية أخرى انطلاقا منن نفس التجربة، مثلا Y عدد مرات الحصول على صورة، وهي متغيرة تأخد القيم 0، 1، 2، ثم المتغيرة Z بحث Z = X - Y ...

القيم الممكنة ل X هي 0، 2، -2. الاحتمالات الملحقة بقيمها يمكن حسابها كما يلي:

P(Z = 0) = P(X – Y = 0) = P(X = 0 et Y = 0 ou X = 1 et Y = 1 ou X = 2 et Y = 2) =>

P(Z = 0) = 0 + P(X = 1 et Y = 1) + 0 = 2 * 0.5² = 0.5

2 المتغيرة العشوائية المتقطعة

و تسمى أيضا م ع منفصلة، وهي التي تأخذ عددا منتهيا من القيم الممكنة في مجال مغلق.

مثال: داخل المجال المغلق [2, 5] المتغيرة X المعرفة في المثال الأول تأخذ 4 قيم ممكنة.

3 التوزيع الاحتمالي للمتغيرة المتقطعة

هي مجموعة القيم الممكنة مع الاحتمالات المرتبطة بقيم المتغيرة. نرمز للمتغيرة بحرف كبير وللقيم التي تأخذها المتغيرة بحرف صغير. نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) . وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية.

مثال: التوزيع الاحتمالي لم ع للمثال الأول (إلقاء مكعب نرد) يكتب كما يلي:

X	1	2	3	4	5	6
P(X = x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

مثال 2. التوزيع الاحتمالي ل X، عدد مرات الصورة في رميتين لقطعة نقدية:

X	0	1	2
P(X = x)	1/4	2/4	1/4	1

4 شروط دالة الكثافة للمتغيرة المتقطعة

نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية. لكي يمكن اعتبار دالة ما، أيا كانت، دالة كثافة احتمالية يجب أن يتحقق شرطان اثنان:

مثال: نأخذ دالة الكثافة ل X نتيجة لإلقاء حجر نرد: f(1) = f(2) = f(3) = … f(6) = 1/6 ≥ 0 ,

الشرط الأول محقق، والشرط الثاني أيضا لأن: Σf(x) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 6(1/6) = 1

5 التمثيل البياني لدالة الكثافة الاحتمالية ل م ع المتقطعة

تمثل المتغيرة العشوائية المتقطعة ليس من خلال منحنى ولكن من خلال أعمدة متوازية على محور X.

مثال: نمثل بيانيا منحنيات دوال الكثافة ل X وZ المعرفة على إلقاء قطعة نقدية مرتين.

رسم 3 التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة

6 دالة التوزيع F(x) للمتغيرة العشوائية المتقطعة

تعرف دالة التوزيع - وتسمى أيضا "الدالة التجميعية" – كما يلي:

F(x) = P(X ≤ x)

ويمكن استنتاج دالة التوزيع من دالة الكثافة الاحتمالية f(x) كما يلي:

إذا كانت X تأخذ عددا منتهيا من القيم فإن F(x) يمكن تعريفها كما يلي:

مثال: أوجد قيم F(x) وF(z) للأمثلة السابقة ومثلهما بيانيا.

2	1	0	X
1/4	1/2	1/4	f(x)
1	3/4	1/4	F(x)=P(X≤x)

2	0	-2	Z
1/4	1/2	1/4	f(x)
1	3/4	1/4	F(x)=P(X≤x)

ملاحظة. تأخذ دالة التوزيع للم ع المتقطعة شكلا سلميا، وهي لا تكون متناقصة في أي مجال، وأكبر قيمة ممكنة لها هي 1.

المبحث 2. مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة وتوزيعها الاحتمالي

تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة

التوزيع الاحتمالي للمتغيرة العشوائية المستمرة

خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة

دالة التوزيع للمتغيرة العشوائية المستمرة

قاعدة لايبنيتز

1 تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة

هي متغيرة ع تأخذ عددا لا متناهيا من القيم في مجال محدود، أو هي تأخذ أي قيمة داخل هذا المجال. من أجل هذا فأن وحدات قياس المتغيرة الميتمرة تكون مستمرة مثل الزمن، الوزن، المسافة، الحجم، ...

2 التوزيع الاحتمالي المستمر

هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها المتغيرة ع المستمرة والاحتمالات الملحقة بها. نسمي توزيعا كهذا دالة الكثافة الاحتمالية أو دالة الاحتمال، وهي ممثلة بمنحنى متصل.

لاحظ أنه بما أن X تأخذ عددا لا متناهيا من القيم داخل أي مجال، فإن احتمال قيمة بعينها هو احتمال يؤول إلى الصفر.P(X=x) à0 لذلك فإن دالة الكثافة تستعمل لحساب احتمال مجال. ويكون ذلك بحساب المساحة تحت منحنى f(x) بين حدود المجال.

لاحظ أن إشارة التكامل هنا تقابل إشارة المجموع في

حالة المتغيرة ع المتقطعة.

3 خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة

باستبدال إشارة التكامل بإشارة المجموع نجد أن شروط دالة

الكثافة الاحتمالية للم ع المستمرة تكتب كما يلي :

من البديهي إذا أن منحنى دالة الكثافة لا يمكن أن ينزل أسفل محور الم ع، كما أن المساحة الإجمالية بين المنحنى والمحور الأفقي تساوي الواحد.

هذه الخصائص تفيدنا في حساب احتمالات بعض المجالات من خلال احتمالات مجالات أخرى.

مثال: أوجد قيمة الثابت C التي تحقق الشرطين الأول والثاني لدالة الكثافة الاحتمالية في الدالة التالية:

ü أحسب احتمال أن تكون X تنتمي للمجال من 1 إلى 2.

ü أحسب احتمال أن تكون X لا تنتمي للمجال من 1 إلى 2.

لكي تكون x دالة كثافة يجب أن يكون C = 1/9 .

4 دالة التوزيع F(x) للمتغيرة العشوائية المستمرة

تعرف دالة التوزيع للمتغيرة المستمرة كما يلي:

لدالة التوزيع أهمية أكبر بالنسبة للمتغيرة المستمرة. السبب في ذلك أننا نهتم، في حالة المتغيرة المستمرة، باحتمال مجال وليس باحتمال نقطة، ولحساب احتمال مجال من الأيسر التعويض في دالة التوزيع بدلا من حساب التكامل في كل مرة. يتضح ذلك من القاعدة التالية: بفرض a, b نقطتان من مجال تعريف X، بحيث b > a . لحساب احتمال أن تكون X تنتمي إلى المجال ]a, b] :

مثال:

أوجد دالة التوزيع للمتغيرة المذكورة في المثال السابق.

استخدم دالة التوزيع لحساب الاحتمال: P(1< x <2).

5 قاعدة لايبنيز Règle de LEIBNITZ

تفيد هذه القاعدة الرياضية العامة في استنتاج أن مشتقة دالة التوزيع هي دالة الكثافة:

مثال: أوجد دالة الكثافة للمتغيرة X إذا كانت دالة التوزيع كما يلي:

6 خلاصة المبحث الأول و الثاني

يتم تعريف التوزيع الاحتمالي (أو القانون الاحتمالي) لمتغيرة عشوائية من خلال تحديد القيم الممكنة للمتغيرة و الاحتمالات المقابلة لها.

يتم هذا التحديد إما من خلال جدول ) جدول التوزيع الاحتمالي) أو دالة، تسمى دالة كثافة الاحتمالية.

لكي نقول عن دالة ما أنها دالة كثافة احتمالية يجب أن تكون موجبة دوما و أن يكون مجموع الاحتمالات مساويا للواحد.

الدالة التجميعية (أو دالة التوزيع) تمثل احتمال مجال من أصغر قيمة للمتغيرة إلى نقطة ما:

في حالة م متقطعة و

في حالة م مستمرة.

نظرا لتعريفها تأخذ دالة التوزيع مسارا متزايدا (أو ثابتا على أجزاء من المجال). تبرز أهمية الدالة التجميعية أكثر عندما تكون المتغيرة مستمرة لأننا نهتم حينها باحتمالات مجالات. يمكن استنتاج دالة الكثافة من خلال اشتقاق دالة التوزيع.

الفصل III. التوقع الرياضي والتباين

التوقع الرياضي

التباين والانحراف المعياري

العزوم

الدالة المتجددة للعزوم

نظرية شيبيشيف، نظرية الأعداد الكبيرة

مسألة: أرسلت مؤسسة عروضا إلى 4 عملاء. احتمال تلقي طلبية من العميل الأول هي 0.2، من العميل الثاني 0.3، من العميل الثالث 0.35 و0.4 من العميل الرابع. في انتظار ردود العملاء ما هو العدد المتوقع من الطلبيات؟

في العديد من الحالات لا يكفي حساب احتمال تحقق حدث أو أحداث معينة بل نحتاج للخروج بتوقع معين يلخص الوضعية المطروحة أمامنا. من جهة أخرى قد يصعب المفاضلة بين خيارات متاحة مقيمة بمبالغ معينة بسبب ارتباط كل مبلغ بمخاطرة مختلفة؛ من المعروف أن الاستثمارات الأكثر مردودية هي تلك التي تتضمن أكبر مخاطرة، فكيف يمكن أخذ في الحسبان المخاطرة والمبلغ المتوقع وبطريقة دقيقة وموضوعية؛ إن طريقة التوقع وبقية المفاهيم الأخرى الواردة أعلاه يمكن أن تساعدنا في ذلك.

المبحث 1. التوقع الرياضي Espérance mathématique

تعريف التوقع

توقع دالة

1 تعريف التوقع

يعرف التوقع الرياضي لمتغيرة عشوائية متقطعة كما يلي:

و يعرف التوقع الرياضي لمتغيرة عشوائية مستمرة كما يلي:

نرمز للتوقع أحيانا ب μ أو μ_x.

مثال: نلقي قطعة نقدية 4 مرات. أحسب العدد المتوقع من المرات التي نحصل فيها على وجه.

المجموع	4	3	2	1	0	X عدد مرات وجه
16/16 = 1	(1/2)⁴	4 (1/2)⁴	6 (1/2)⁴	4 (1/2)⁴	(1/2)⁴	P(X)
32/16 = 2	4 (1/2)⁴	12 (1/2)⁴	12 (1/2)⁴	4 (1/2)⁴	0	XP(X)

العدد المتوقع هو مرتين من بين 4 رميات.

مثال 2. نلقي قطعة نقدية مرة واحدة. يربح اللاعب 20 دج إذا حصل على الرقم 2، ويربح 40 دج إذا حصل على الرقم 4، و60 دج إذا حصل على الرقم 6، ويخسر 10 دج إذا حصل على الرقم 1، 30 دج إذا حصل على الرقم 3، و50 دج إذا حصل على الرقم 5. تحقق مما إذا كانت العبة متوازنة (هل توقع الربح يساوي توقع الخسارة).

الجواب هو أن اللعبة غير متوازنة لأن توقع الربح أكبر من توقع الخسارة E(x) = 30/6 = 5 > 0

المجموع	6	5	4	3	2	1	نتيجة الرمي
-	60	-50	40	-30	20	-10	نتيجة المراهنة X
6/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	P(X=x)
(120-90)/6>0	60/6	-50/6	40/6	-30/6	20/6	-10/6	*XP(X=x)**